RESFRIAMENTO DA CERVEJA

UNIJUÍ - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
Curso de Licenciatura em Matemática
Componente curricular: Modelagem Matemática I

RESFRIAMENTO DA CERVEJA

Radael de Souza Parolin , Carine Graciela Teichmann Soares
Neide Maria Schäffer Johansson

Outubro de 2006

INTRODUÇÃO
        A investigação matemática para o resfriamento da cerveja visa modelar matematicamente uma situação cotidiana da qual estamos acostumados a presenciar e ao qual temos muitas dúvidas em relação ao processo, suas conseqüências físico-químicas e projeções ideais do resfriamento. A busca por pontos ideais de resfriamento quer satisfazer escolhas da temperatura em relação ao tempo, para que a apreciação da cerveja na temperatura ideal possa ser prevista sem que a mesma congele, ou fique acima desta.
        A análise de resfriamento requer um acompanhamento da variação de temperatura de uma cerveja no interior de um congelador, do qual considera-se com uma temperatura constante. Busca-se então, um modelo matemático descrito por uma equação do resfriamento da cerveja em função do tempo para o congelador analisado.

DESCRIÇÃO DO PROBLEMA
        A cerveja é uma bebida muito consumida pelos brasileiros, apreciada em comemorações, domingos de churrasco, bares com amigos, etc. Motivos não faltam para o consumo desta bebida. No entanto, esta deve estar em uma temperatura considerada ideal.
        Muitas vezes tomamos cerveja acima da temperatura esperada, por ficar pouco tempo em resfriamento, ou sofrendo a cristalização após a retirada da mesma do congelador, por ficar muito tempo resfriando. Mas então, como saber qual é a temperatura ideal para beber a cerveja? Quanto tempo a cerveja deve ficar em resfriamento para alcançar esta temperatura ideal?
        Estas são algumas perguntas das quais investiga-se para responder, enfim, modelando matematicamente uma equação de resfriamento em função do tempo para auxiliar nos dias de apreciação de uma boa cerveja, com uma temperatura ideal.

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA
        A partir de análises bibliográficas constatamos que a cerveja congela à temperatura de –2,5°C. Quando consumida à 0°C de temperatura tira a sensibilidade das papilas gustativas, diminuindo a sensação de aroma e sabor.
Portanto, consideramos que a temperatura ideal para o consumo da cerveja é de 2°C.
        Obtemos a temperatura do interior do congelador com um termômetro calibrado, concluindo que a mesma é de 2°C. Esta é considerada a temperatura constante do ambiente de resfriamento da cerveja.
        Para a obtenção das temperaturas no processo de resfriamento da cerveja utilizamos um termopar, devidamente conectado a um sistema digital de coleta de dados.

Figura 1 – Esquema geral do equipamento

Coletamos então, a variação de temperatura de uma lata de cerveja em resfriamento em um congelador, considerando sua temperatura constante T_∞ = 2°C.
Obtemos o seguinte gráfico de resfriamento da cerveja:

Gráfico 1 – Resfriamento da cerveja em função do tempo com uma temperatura ambiente T_∞= 2 °C

Percebendo-se um comportamento exponencial, fazemos um ajuste baseado na equação:

(1)

onde T₀ é a temperatura inicial e k um coeficiente de resfriamento Linearizamos a equação (1):

               Onde

obtendo:

y=kt
(2)

Então, substituindo os dados experimentais na equação (2), obtemos um sistema de equações lineares, no qual resolvemos pelo ajuste linear de mínimos quadrados.



(3)

(4)

Encontramos o valor de k = 0,00682009581
Obtendo a equação:

(5)

        Comparando a equação com os dados experimentais temos o gráfico a seguir:

Gráfico 2 – Dados experimentais do resfriamento da cerveja e a equação exponencial ajustada

Conhece-se o modelo de Newton para resfriamento de corpos:



(6)

onde t é tempo, T é temperatura e T_∞ é temperatura ambiente (constante) e k um coeficiente de resfriamento.

Resolvendo a Equação Diferencial obtemos:

(7)

Fazendo um ajuste com os dados experimentais em relação à equação (7), primeiramente linearizamos para que torne possível fazê-lo, sendo que:



        Consideramos:



obtendo:

        y=kt                                                                                                                                      (8)

Então, substituindo os dados experimentais na equação (8), obtemos um sistema de equações lineares, no qual resolvemos pelo ajuste linear de mínimos quadrados, para encontrar o coeficiente de resfriamento k, assim como foi feito com o primeiro modelo.

Encontramos o valor de k = 0,009654036731

Obtendo a equação:

(9)

Comparando a equação de Newton com os dados experimentais obtemos o gráfico a seguir:

Gráfico 3 – Dados experimentais do resfriamento da cerveja e a equação de Newton ajustada

RESULTADOS
Para avaliação das equações obtidas em relação aos dados experimentais, calculamos o coeficiente de correlação ao quadrado.

        O R² é calculado por:

                         (10)

onde y_c são os dados calculados, y_e os dados experimentais e y_m um valor médio.


R² = 0,919701098

R² = 0,652876313

O gráfico mostra as duas equações e os dados experimentais:

Gráfico 4 - Dados experimentais do resfriamento da cerveja e as duas equações de ajuste

CONCLUSÕES
O primeiro modelo exponencial de ajuste, obtém um melhor coeficiente de correlação, havendo uma boa relação da equação com os dados experimentais. No entanto, este modelo é incoerente pela situação física ao qual se propõe descrever, já que a tendência da temperatura é zero para maiores valores de tempo, o que torna insuficiente por ultrapassar o equilíbrio térmico esperado em relação à temperatura constante do congelador.        O modelo baseado em Newton não tem um coeficiente de correlação muito bom em relação aos dados experimentais. Porém, o modelo propõe uma tendência assintótica à temperatura do congelador para maiores valores de tempo, que descreve melhor a situação física analisada.

        Em resposta à pergunta inicial, de quanto tempo de resfriamento a cerveja deveria ficar nas condições propostas, para chegar à temperatura de 2 °C, calculamos para a equação de Newton em uma temperatura T = 2,1 °C, próxima à ideal, já que no modelo não se pode chegar a essa temperatura, apenas tender à ela.

Obtendo t = 758 minutos.

        Com isso, verificamos que a temperatura do congelador deve estar abaixo da temperatura ideal para o consumo da cerveja, para que esta obtenha a temperatura em menor tempo, já que ao se aproximar da temperatura ambiente o resfriamento é mais lento.

BIBLIOGRAFIA

CAPELATO, Hugo. Por que a cerveja que tiramos do congelador, após a segurarmos, congela, se a mão é mais quente que a cerveja ? Disponível em: <http://www.republicadacerveja.com.br/textoseartigos4.asp> Acesso em: 23 de agosto de 2006

HOWARD, Anton; RORRES, Chris. Algebra linear com aplicações. 8ª ed. Trad. Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2001.

<http://www.luizhenrique.com/chopp.html> Acesso em: 23 de agosto de 2006

<http://br.geocities.com/saladefisica5/leituras/superfusao.htm> Acesso em: 22 de agosto de 2006

<http://www.ciadaescola.com.br/zoom/materia.asp?materia=227&pagina=3> Acesso em: 22 de agosto de 2006