UNIJUÍ – UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL 
DeFEM – DEPARTAMENTO DE FÍSICA ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA 

DISCIPLINA: Modelagem Matemática II 
PROFESSOR: Pedro Augusto Pereira Borges 

CONSUMO DE ÁGUA TRATADA 

ALUNOS: Carlos Alberto Venes Kaus 
Damaris Dahmer Fürcht 
Greici Hinterholz Kaus 

Ijuí, junho de 2002

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INTRODUÇÃO

Embora três quartas partes da superfície da Terra sejam compostas de água, a maior parte não está disponível para consumo humano, pois 97% são água salgada, encontrada nos oceanos e mares e 2% formam geleiras inacessíveis.

Apenas 1% de toda a água é doce e pode ser utilizada para consumo do homem e animais. E deste total 97% estão armazenados em fontes subterrâneas. 

As águas doces superficiais - lagos, rios e barragens - utilizadas para tratamento e distribuição nos sistemas de tratamento vêm sofrendo os efeitos da degradação ambiental que atinge cada vez mais intensamente os recursos hídricos em todo o mundo. A poluição destes mananciais vem tornando cada dia mais difícil e caro o tratamento da água pela Corsan. 

O uso cada vez mais intenso dos recursos hídricos vem obrigando à adoção de medidas de regulação e modificação dos cursos d'água o que gera variações nos ecossistemas e microclimas, com prejuízos à flora, fauna e habitat. 

O aumento da contaminação da água é uma das características mais importantes do uso dos recursos hídricos em todo o mundo. Nos países em desenvolvimento são poucas as cidades que contam com estações de tratamento para os esgotos domésticos, agrícolas e industriais, incluindo os agrotóxicos. 

Até agora os seres humanos, a fauna e a flora vêm sobrevivendo às situações de mudança, mas se a contaminação aumentar a, capacidade de regeneração e adaptação diminuirá, acarretando a extinção de espécies e ambientes que antes constituíam em fonte de vida. Por isto é urgente um processo de planificação para prevenir e reduzir a possibilidade de ocorrerem estes danos. 

Partindo disso, realizamos este estudo sobre o consumo de água tratada nas residências. Fomos até a CORSAN a fim de verificar como é calculada a tarifa cobrada pelo consumo de água em residências, estabelecimentos comerciais e indústrias. Com as informações que obtivemos na CORSAN vimos que o cálculo da tarifa de consumo de água é calculado através de uma função exponencial, na qual o expoente varia conforme o consumo em m³ de água tratada. Ainda, constatamos que o preço básico e o serviço base cobrado na tarifa também variam conforme a categoria que a residência, comércio ou indústria se enquadram. 

Com as informações obtidas durante nossa pesquisa foi possível resolver o nosso primeiro problema (como é calculado o valor da conta mensal do consumo de água?) através de um modelo matemático. 

Ainda dentro deste assunto, pensamos em dois problemas que também foram resolvidos através de modelagem matemática: considerando o vazamento de uma torneira, como podemos verificar quantos litros de água vasa num período de 30 dias e qual o tamanho da gota na torneira com vazamento. 

A resposta para os três problemas, bem como as modelagens matemáticas que usamos no desenvolver deste estudo encontram-se ao longo deste trabalho. Ainda constam, nestes registros os conteúdos que podem ser desenvolvidos com alunos do ensino médio a partir destes problemas. 

PROBLEMATIZAÇÃO 

Problema 1

1.1 Como é calculado o valor da conta mensal do consumo de água? 

O valor cobrado pelo consumo mensal de água em um imóvel depende da categoria em que o mesmo se enquadra. A Companhia Riograndense de Saneamento – CORSAN estabeleceu as seguintes categorias para os imóveis, juntamente com as suas tarifas conforme tabela abaixo. 

TARIFA	CATEGORIA	PREÇO BASE  R$	SERVIÇO BÁSICO	TARIFA COMPOSTA MÍNIMA
BP	Bica Pública	0,81	3,20	11,30
BÁSICA	Residências com até 60m2	0,68	3,20	10,00
	Excedente até 10m3	1,69
SOCIAL	Imóveis com mais de 60 m2	1,69	7,99	24,89
EMPRESARIAL	COMERCIAL 1 Comércio até 50 m2	1,69	7,99	24,89
	COMERCIAL 2 Grande Comércio	1,93	14,24	52,84
	PÚBLICA Pública	1,93	28,46	67,06
	Industrias	2,18	28,46	100,89

                      ^{Fonte: CORSAN– Companhia Riograndense de Saneamento -2002} 



O cálculo do valor cobrado pelo consumo mensal é feito através do seguinte modelo matemático: 

Vc= Valor cobrado (R$) 

PB = Preço Base 

C = Consumo 

n = Expoente, varia conforme os m³ de consumo mostrado na tabela abaixo. 

SB = Serviço Básico 

Quadro

m3	Expoente
Até 20	1,00
21	1,01
22	1,02
23	1,03
24	1,04
25	1,05
Mais de 25	0,01C +4 ,80

                                                                      Fonte: CORSAN

 

Observações: 

Nas categorias Res A e A1 cujo consumo exceder a 10m³, o Preço Base do excedente será calculado de acordo com o Preço Base da categoria Res B. 

O Esgoto será cobrado a razão de 70% do valor do m³ de consumo ou do volume mínimo da categoria de uso. 

Exemplo 1: 

Imóvel residencial com 50m²/sup>. 

Leitura em 2 de abril de 2002: 1393 

Leitura em 2 de maio de 2002: 1403 

Consumo: 1403-1393= 10m³


Vc = 1,69 x 10 1,00 + 3,20 

Vc = 20,10 

Exemplo 2: 

Imóvel residencial com 100m²/sup>. 

Leitura em 2 de abril de 2002: 1692 

Leitura em 2 de maio de 2002: 1710 

Consumo: 1710-1692= 18m³ 





Vc = 1,69 x 18 1,00 + 7,99 

Vc = 38,41 



Exemplo 3: 

Comercial C1. 

Leitura em 2 de abril de 2002: 2024 

Leitura em 2 de maio de 2002: 2049 

Consumo: 2049-2024= 25m³ 



Vc = 1,69 x 25 1,05 + 7,99 

Vc = 57,62

Problema 2 

1.2 Constatado o vazamento de uma torneira, como podemos verificar quantos litros de água  vasa num período de 30 dias?  Testamos o vazamento de uma torneira coletando gotas em uma tampinha de forma cilíndrica.  Realizamos três testes, onde obtemos os seguintes dados:  Segundos          Gotas  09” 55  ->             28  10” 54  ->             29  09” 70  ->             28  Média de tempo em segundos  (09,55 + 10,54 + 9,70)/3= 9,93”  Média de gotas  (28 + 29 + 28)/3= 28,33  Conclusão: 28,33 gotas em  9,93  segundos.

Calculamos o volume do Cilindro: 
Raio = 0,65 cm ;     Altura = 4,7 cm 
V= 3,14. 0,652.4,7 
V= 6,24cm³ 

Transformando 6,25 cm³ para m³, temos: 
6,25 cm³ x m³ 
1 cm³ 0,000001 m³ 
x = 0,00000625 m³ 

Transformando 0,00000625 m³ para litro, temos: 
1 m³ 1000 l 
0,00000625 m³ x l 
x = 0,00625 l 

Verificando qual será o vazamento em litros durante 30 dias temos: 
1 dia = 86 400 segundos 
28,33 segundos 0,00625 l 
86 400 segundos x l 
x= 19,06 l/dia 
Em 30 dias 571,80 l

Problema 3 

1.3 Qual o tamanho da GOTA na torneira com vazamento ? 

Chamando n o número de gotas e V o volume do cilindro temos: 

Tamanho da gota: n/V 



g = 6,24 cm³/ 28,33 

g= 0,22 cm³ 

Conteúdos de Matemática que podem ser trabalhados a partir dos problemas

 

Problema 1: 

Função Exponencial. 
Sendo: 
Vm= Valor mínimo 
PB = Preço Base 
C = Consumo 
n = Expoente, varia conforme os m³ de consumo mostrado na tabela abaixo. 
SB = Serviço Básico 

RESIDENCIAL B 

Consumo/m3	Preço/R$
10	24,89
12	28,27
15	33,34
20	41,79
21	44,58
22	47,54

Observação: Considerando a situação real onde o expoente n varia conforme o consumo e outra situação não real onde n seria sempre o mesmo (1,00) podemos comparar o gráfico de uma função exponencial com uma função linear. 

Sendo: 
Vm= Valor mínimo 
PB = Preço Base 
C = Consumo 
n = Expoente 
SB = Serviço Básico 

Gráficos 

Coeficiente angular e coeficiente linear

 

Problema 2: 

Geometria espacial métrica: área e volume. 

Função linear

Sistemas de medidas de volume e capacidade. 

Regra de três. 

Estatística: coleta de dados, média. 

Problema 3

Estatística: coleta de dados, média. 

Cálculo de Volume. 

Conclusão 

Quando escolhemos o tema “CONSUMO DE ÁGUA TRATADA”, tínhamos como objetivo investigar como é calculada a tarifa de consumo cobrada pela CORSAN e qual o desperdício de água oriundo de um vazamento. A finalidade desta investigação não era apenas realizar a modelagem matemática, mas também realizar um trabalho de conscientização com relação ao consumo de água potável, que hoje é um problema mundial pela escassez em nossos mananciais. 

Nas primeiras investigações que fizemos pudemos verificar que o cálculo da tarifa do consumo de água é calculado através de uma função exponencial na qual o expoente varia conforme o consumo de água em m³. E, também que o valor do preço básico e do serviço base variam conforme a categoria da residência, comércio ou indústria. 

Através do modelo matemático da função exponencial encontramos a solução do nosso primeiro problema. O segundo e terceiro problema que referem-se ao vazamento de uma torneira foram resolvidos através de modelos matemáticos que envolveram coleta de dados, média, área e volume de sólidos geométricos, razão, regra de três e sistema de medida de volume e capacidade. 

Ao pensarmos a modelagem matemática como um método de ensino conseguimos associar a nossa modelagem com vários conteúdos de matemática. No ensino médio: função exponencial, função linear, coeficiente angular e linear de uma reta, figuras geométricas espaciais (área e volume) e estatística (coleta de dados e média). No ensino fundamental sistemas de medidas de volume e capacidade, regra de três, razão e outros. 

Percebemos, que trabalhar o tema “CONSUMO DE ÁGUA TRATADA” com alunos do ensino médio desenvolvendo a arte de modelagem matemática seria um trabalho muito significativo. Conteúdos como função exponencial do 1º ano e volume de figuras espaciais do 3º ano poderiam ser trabalhados a partir deste estudo, no qual conteúdos do ensino fundamental como regras de três, sistema de medidas e razão estariam sendo revisados de uma forma intrigante. Ainda, estaríamos desenvolvendo um trabalho riquíssimo de conscietização em relação ao não desperdício de água potável que é um problema no mundo inteiro. 

Cabe ainda destacar que o tema que escolhemos é rico em informações matemáticas podendo ser desenvolvidas muitas outras problematizações e modelagens matemáticas. 

Bibliografia 

ROKUSABURO, Kiyukawa, SMOLE, Kátia Cristina S, Matemática. Ensino Médio. Volume 1. São Paulo: Saraiva, 1998. 

ROKUSABURO, Kiyukawa, SMOLE, Kátia Cristina S, Matemática. Ensino Médio. Volume 2. São Paulo: Saraiva, 1998. 

Documentos CORSAN.