Atividades de revisão e complementação de alguns conteúdos de matemática do Ensino Fundamental e Médio, utilizando o computador
As atividades a seguir envolvem alguns conteúdos do ensino fundamental e médio.
Operações algébricos básicas no MuPAD
·
o
sinal + indica adição. Exemplo 5+1.5 ( acionar enter) ;
·
o
sinal - indica subtração. Exemplo 5-1.5 ;
·
o
sinal ^ indica
potenciação. Exemplo 2^3 ;
·
o
sinal * indica multiplicação. Exemplo 3.5*2;
·
o
sinal / indica divisão. Exemplo 8/4 ;
·
o
valor de é representado por PI;
·
A
union B : união dos conjuntos A e B
·
A
intersect B : interseccão dos conjuntos A e B
·
A
minus B : diferença entre A e B
·
·
restaurar
variável x para uso algébrico delete x;
·
para
indicar radicais é utilizado o expoente fracionário. Exemplo 8^(1/3)
para expressar 
Desenvolva as tarefas
utilizando o programa MuPAD:
1)Encontre o resultado em
forma de fração ordinária , número misto e decimal aproximado:
a)
=
b) = 
c) =
d) 
Para encontrar o resultado
da última digita-se
a:=(2/3)/(1/5) ;
Obs.:
Após a digitação de cada instrução, colocar-se ; (ponto e vírgula) e
aciona-se Enter caso se queira
visualizar o resultado. Caso não se
queira visualizar o resultado é necessário colocar : ( dois
pontos) e acionar Enter.
Para ver a parte inteira, a parte fracionária e o decimal aproximado do último resultado,
ao mesmo tempo digita-se:
floor(a), frac(a), float(a) ;
Para traduzir estes comandos para outros %apelidos% que se queira dar aos comandos pode-se digitar o que segue.
alias( parteinteira=floor, partefracionaria=frac, decimal=float );
b:=(2/3)/(1/5);
parteinteira(%) , partefracionaria(%) , decimal(%);
Obs.: O símbolo
% pode ser utilizado para
substituir a digitação do último resultado
obtido.
2)
Se
39874 bolitas fossem repartidas 798 crianças, quantas bolitas receberia
cada criança? e quantas bolitas
sobrariam?
Para encontrar o quociente e
o resto digita-se:
iquo(39874 , 798);
irem(39874 , 798);
alias(restoi=irem, quocientei=iquo);
recebem:=quocientei
(39874 , 798) ; sobram:= restoi(39874 , 798);
Resolva o problema 2 , com a
calculadora que se encontra em
Iniciar->Programas-> Acessórios utilizando somente
a)
a
operação subtração;
b)
as
operação adição e subtração ;
b)divisão,
multiplicação e subtração;
3)Encontre o resultado de
cada uma das expressões:
a)
b) 
.
Obs:
Utiliza-se somente parênteses para fazer agrupamento no MuPAD.
Para obter o resultado da
última expressão, digita-se:
( 5^(-3) - (
4/8^(1/3)-6*( 35- 7/5 ) ) -10);
float(
%); // para
obter o resultado na forma de decimal
Utilize a calculadora para
encontrar o resultado da última
expressão da questão 3
4)
Represente
cada um dos números pelo produto de
seus fatores primos e depois marque os números primos ou seja, os
que não podem ser representados por um produto de outros números
inteiros.
a) 32 b)
81 c)243 d)29 e)17 f)2 g)23 h)252 i)257 j)99.
Para encontrar a representação do
último digita-se:
ifactor( 99); // ou traduzindo ifactor para fatorespri
alias(
fatorespri = ifactor );
fatorespri(99);
5)Encontre os divisores dos
números da questão anterior e verifique o número de divisores dos números que
foram marcados na questão anterior por
serem primos. Existe algo em comum?
Para encontrar o conjunto
dos divisores do penúltimo digita-se:
numlib::divisors(257)
6)Encontre o termo
desconhecido :
a) 
; b) 
; c) 
;
d) 
.
A primeira e a última questão estão resolvidas a seguir:
solve(
x/69=17/23, x);
alias(resolva=solve); // traduzindo o comando
resolva( (x/4)
/ 3 = 2 / (3/7), x); // resolvendo última
7)Fatore as expressões
a)
; b) 
; d) 
; d) 
; e) 
;
Para encontrar o resultado
da fatoração das duas últimas, pode-se digitar:
factor(x^5+1);
alias(fatore=factor);
fatore(x^7+1);
8)Encontre o quociente e o
resto da divisões em seguida verifique se existe alguma regularidade nas
respostas. É possível fazer alguma régra?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f)
Para obter os resultados do
ítem c e d pode-se digitar:
divide( (x^8+1), (x+1)); // aparecerá o resultado da divisão, seguido do resto
9)
Faça
o desenvolvimento das potências a
seguir e descreva as regularidades que podem ser percebidas
a) 
Para obter o desenvolvimento
da última digita-se
expand( (a+b)^3 );
10)Simplifique as expressões
a)
; b) 
; c) 
.
Para simplificar a última digita-se
simplify( x*y*z/(a*z*y) ) ;
normal( x*y*z/(a*z*y) ) ;
11)Resolva as equações algébricas
a)
b) 
c) 
d) 
e) 
Para resolver as últimas
digita-se
solve(x^5-6*x^4-5*x^3+2*x^2-x+7 , x );
float(%);
alias(resolva=solve, decimal=float);
resolva(x^4-5*x^3+2*x^2-x+7 , x );
valores(%);
12) Resolva as diversas
equações , inequações e sistemas
a) 
, b) 
, c) 
d)
, e) 
, f) 
g)
;
h) 
Para resolver o sistema do
item a) pode-se digitar
s1:={ 6 = x-y , x+y=1
};
solve(s1,
[x,y] );
Para resolver as duas últimas pode-se digitar
solve( 2*x-6<8 ,x);
solve( abs(2*x-6) <8 ,x);
13)Racionalize os
denominadores das seguintes expressões;
; 
; 
; 
; 
Para racionalizar a primeira e a última expressão digita-se:
5/(3)^(1/2);
4/ 3^(1/3);
14)Arredonde os números decimais para números inteiros
a)
20,5 b)20,4 c)20,8 d) 12,2 e)12,5 f) 12,9 g)7,2 i) 7,5 j)7,8
Para arredondar o primeiro valor pode-se digitar o seguinte:
n :=20.5;
trunc(n) ; // despreza todas as casas decimais
floor(n); // arredonda para inteiro
igual ou menor que x, mais próximo
round(n) ; // arredonda para inteiro
mais próximo
ceil(n); // arredonda para inteiro igual ou maior que x,
mais próximo
15).Exemplo de aplicação de resolução de sistemas
1) Um feirante oferece 3 tipos de sacolas com verduras, todas são vendidas a R$ 2,50. A composição das sacolas é o seguinte:
Sacola tipo 1:
2 maços de cenouras, 3 espigas de milho verde e 1 repolho.
Sacola tipo 2:
3 maços de cenouras, 1 espigas de milho verde e 1 repolho.
Sacola tipo 3:
1 maço de cenouras, 2 espigas de milho verde e 2 repolho.
Deseja-se saber a que preço está sendo comercializado, por este feirante , cada maço de cenoura , cada espiga de milho e cada cabeça de repolho?
>e1:=2*c+3*m+r-2.5;
>e2:=3*c+m+r-2.5;
>e3:=c+2*m+2*r-2.5;
>solve({e1=0,e2=0,e3},[c,m,r]);
>//ou
>sistema:= { 2*c+3*m+r=2.5, 3*c+m+r=2.5, c+2*m+2*r=2.5 } ;
> precouni:=solve(sistema, [c,m,r] );
>// ou somente
>solve( { 2*c+3*m+r=2.5, 3*c+m+r=2.5, c+2*m+2*r=2.5},[c,m,r] );
16) Procedimento que pode servir como exemplo para
estabelecer relações entre conteúdos
// procedimento para
comparar medidas de área e perímetro de retângulos - conteúdo de quinta série
// ATENÇÃO – DIGITAR TODAS
O AS LINHAS ABAIXO NIMA ÚNICA
LINHA, ACIONAR ENTER SOMENTE APÓS A ÚLTIMA
LINHA
retangul:=proc(n)
begin
print( ` base, altura, perímetro,
área ` );
for i from 1
to n-1 do
print(i, n-i, 2*i+2*(n-i), i*(n-i) );
end_for;
end_proc;
// executar o procedimento anterior
retangul(10);
17) Segue uma “ malha”, “
laço” ou “loop” para comparar
juros simples e juros compostos variando o número de períodos -conteúdo de sexta
série .
c :=
100:
i := 10:
// Obs: digitar as linhas a seguir muna única linha
for t from 1 to 10
do
Js:=float(c*i*t/100) ;
Jc:=float(c*(1+i/100)^t -c);
print( t, Js, Jc)
end_for:
Operações com Matrizes
18) Dadas as matrizes
; 
;
; 
; 
; 
G=[1 3
4 ], efetue as
operações a seguir:
a) A+B; b)B+A ;
c)A-B; d)B-A; e)
AxB; f) BxA; g) D1x E;
h)ExD1; i) FxG; j) GxF; k) CxA;
l)AxC; m)CxB; n) BxC; o)CxD1;
p)Cx F q) 3A;
r)A2 s) A-1 ;t) Ax A-1 ; u)A-1x A;
v)Determinante de A;
Para efetuar as operações dos itens a, f
, g, e v digita-se:
// definindo as matrizes A e B de ordem 3 por 3.
A:=matrix(
3, 3, [ [1,2,3] ,
[5,4,9] , [1,1,6]
] );
B:=matrix(
3, 3, [ [1,3,3] ,
[2,1,7] , [5,6,9]
] );
A+B; // Efetuando a adição das matrizes-ítem a .
B*A; // Efetuando a
multiplicação das matrizes -ítem f .
InvA:= 1/A; //Cálculo da inversa de A -ítem s .
linalg:: det(A); // Calculando o determinante da matriz A-ítem v.
linalg::transpose(A); // Mostra matriz transposta de A
//definindo
as matrizes D13x2 e E2x3.
D1:=matrix( 3 ,2, [ [1,2] , [2,0] , [ 1,1]
] ) ;.
E:=matrix( 2 , 3, [
[1,5,1] , [2,3,4] ]
) ;
D1*E; // Ítem g.
Conjuntos e Intervalos
19) Dados os conjuntos A =
{6, 1, 2, -5, 7}, B = {1, -4, 6, x, 0}, C = {9, -3, 6, x, 1}, faça as operações
solicitadas:
a) A È B; b)
C Ç A; c)
A – B d) AÇC-B; e)A ÇB; f) CÈAÈB;
Para resolver as questões
três primeiras questões acima digita-se:
//Definindo os conjuntos
A:={6, 1, 2, -5,7};
B:={1, -4, 6, x, 0};
C:={9, -3, 6, x, 1};
X:= A union B; // Realizando a união
Y:= C intersect A; // Realizando a intersecção
Z:= A minus B; //
Realizando a subtração
Operações com Intervalos
20) Dados os intervalos A=
[3, 5] , B=(4, 7), C=[-3, µ), D1=(-µ, 15);
E= (3, µ), faça as seguintes
operações: a) R – (3, µ); b) AÈB;
c)AÇB d)A-B e)D1-A f)D1ÇA g)AÇE
Para fazer definir os
intervalos e realizar as três primeiras operações digita-se:
//definindo os intervalos
A:=Dom::Interval(
[3, 5] );
B:=Dom::Interval( 4, 7 );
C:=Dom::Interval( [-3],infinity );
D1:=Dom::Interval( -infinity, 15 );
E1:=Dom::Interval(3,
infinity);
R:=Dom::
Interval( -infinity, infinity);
R minus A; A
union B; A intersect B;