Princípio Fundamental da Contagem

É um método algébrico para determinar o número de possibilidades de escolha, sem precisar descrever todas as possibilidades.

Se um acontecimento (ou escolha)  pode ocorrer por várias etapas  independentes, de tal modo que:

• p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa (ou escolha)
• p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa (ou escolha)
•     ...
• pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa,
• Então: p1 . p2 . ... pk é o número de possibilidades (ou escolha) total

Ou seja, podemos calcular todas as possibilidades (ou escolhas) através da multiplicação de todas as etapas.

Exemplo:
Para montar a configuração de um computador, uma loja oferece 3 tipos de  processador,  2 tipos de Hard Disk (HD),  2 tipos de configuração de Memória RAM.
Vejamos, em um diagrama, todas as diferentes possibilidades que temos para montarmos um equipamento:

Através da análise do diagrama, podemos concluir que para cada uma das 3 opções para processador, teremos  2 opções de  Hard Disk e 2 opções de Memória RAM.

Através do Principio Fundamental da Contagem é possível chegarmos a este número sem a necessidade da análise do diagrama, pois podemos nos utilizar da multiplicação de todas as possibilidades (ou escolhas).

Assim, para calcularmos o número total de possibilidades, pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC) temos:
3 x 2 x 2 = 12 opções

Vejamos mais um exemplo:
Uma lanchonete oferece em seu cardápio o lance “X-Quase Tudo” .  O comprador escolhe um de cada tipo de ingrediente conforme a tabela

De quantas formas diferentes um lanche pode ser pedido?
São 4 tipos de pães, que podem ser combinados com 5 tipos de molhos, 3 tipos de saladas, 5 tipos de Recheio e 2 tipos de acompanhamento.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC)  o número de  resultados possíveis será obtido pela multiplicação do número de possibilidade de cada item.

Assim pelo PFC temos:
4 x 5 x 3 x 5 x 2 = 600 combinações diferentes de lanches

Atenção para um grande detalhe:

Na mesma lanchonete a promoção do “X-Quase Tudo” traz como opção de  bebida 3 tipos de refrigerante ou 4 tipos de suco.

Veja a solução: 

Para o lance, as possibilidades continuam as mesmas do exemplo anterior:
4 x 5 x 3 x 5 x 2 = 600 combinações de lances

Como ainda tem opção de bebidas, mas note que: o cliente pede refrigerante OU o cliente pode suco.

Como o cliente não pode pedir refrigerante e suco ao mesmo tempo, então não podemos multiplicar as opções, mas sim somá-las.

Veja:

Caro estudante, esperamos poder ajudá-lo no entendimento do tópico do Princípio Fundamental da Contagem. Este tópico merece destaque pois está ligado diretamente ao tópico de Análise Combinatória e também ao universo das Probabilidades.
 
Para saber mais sobre o assunto, deixamos aqui algumas sugestões de outros objetos de aprendizagem e de alguns textos interessantes sobre o assunto, converse com seu professor(a) e explore o tema, temos certeza de que será muito interessante.

Leitura de Apoio

Como apoio, citamos o Livro da colação Fundamentos de Matemática Elementar que trata somente de Combinatória e Probabilidade:

HAZZAN, Samuel – Fundamentos de Matemática Elementar: Combinatória, Probabilidade  - Volume 5 – São Paulo:  Atual, 2004.